份为期五年的合同，不过加盟切尔西后，库尔图瓦随即被外借到马德里竞技足球俱乐部。在欧联杯马德里竞技对阵塞图巴尔的比赛中，库尔图瓦取代塞尔吉奥·阿森霍成球队的首发门将，这也是库尔图瓦首次代表马德里竞技上场。2011年11月底在马德里竞技对阵皇马的比赛中，库尔图瓦吃到自己职业生涯中的第一面红牌，导致球队一比四落败。2012年5月9日库尔图瓦在欧联杯决赛对阵毕尔巴鄂竞技的比赛中不失一球，帮助球队三比零击败对手，赢得职业生涯中的第一项欧洲杯赛锦标，2012年8月在欧洲超级杯对阵切尔西的比赛中，库尔图瓦再次帮助球队四比一大胜对手夺得冠军，夺得自己职业生涯的首座超级杯冠军。
2013年5月18日在国王杯决赛中，库尔图瓦帮助马竞二比一击败皇家马德里，队史第十次国王杯封王，成为第四支冠军数上双的球队，2012-13赛季库尔图瓦在马德里竞技的二十场比赛中力保球门不失，创造了马竞队史连续不失球时间的新记录，并夺得西甲联赛的萨莫拉奖，同时库尔图瓦帮助马竞以西甲联赛的第三成绩获得2013-14赛季的欧冠资格。
2013年6月22日马德里竞技俱乐部官方宣布，库尔图瓦继续以租借的方式在马德里竞技效力一个赛季。
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